Neuekleidovská geometrie povstala kuriózním způsobem: U jejích kořenů byl samozřejmě problém s pátým axiomem o rovnoběžkách. Původním cílem však bylo dokázat tento axiom sporem – tedy představit si svět, kde by axiom neplatil, a pak tento svět ukázat na nemožný. Model však projevil pozoruhodnou životnost…
Pátý postulát říká, že jedním bodem lze s určitou přímkou vést pouze jedinou přímku, která se s původní přímkou neprotíná (míněno samozřejmě v příslušné rovině, tj. jde o rovnoběžky – mimoběžek je samozřejmě nekonečno). Giorolamo Saccheri se na počátku 19. století pokusil budovat svět, kde by právě pátý Eukleidův postulát neplatil, jiné axiomy řeckého matematika by však zůstaly nedotčeny. Uvádí se ostatně, že už Eukleidés nebyl s nutností postulovat pátý axiom příliš spokojen, snažil se ho vyvodit z dalších tvrzení, ale neuspěl.
Saccheri posléze dospěl k závěru, že Eukleidův pátý postulát je ekvivalentní s tvrzením "je možné vytvořit alespoň jeden čtverec". Ve světě,kde by postulát neplatil, by tedy nemohly existovat čtverce, a jak se v dalším průběhu důkazu ukáže, ani obdélníky.
Součty úhlů v trojúhelníku by se řídily jinými zákonitostmi (zde už možná tušíte, že se blížíme sférických i hyperbolickým plochám), totéž pak bude platit pro součet úhlů obecného konvexního čtyřúhelníku.
Velmi bizarní je pak i důsledek, podle kterého existuje největší možný rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. Totéž platí i pro jiné útvary, od určité délky se již jejich strany prostě neprotnou (Důkazy všech těchto tvrzení jsou poměrně náročné na místo).
V tomto kontextu lze vlastně za nejbizarnější vůbec pokládat tvrzení, že důkaz sporem se nakonec nezdařil a naopak došlo ke vzniku celé kategorie neekleidovských geometrií. Gauss dokonce zašel tak daleko, že měřil úhly v běžných trojúhelnících a zkoumal, zda náš svět je skutečně eukleidovký. Samozřejmě nezjistil žádnou odchylku, pokud by taková existovala, projevovalo by se zakřivení až v kosmických rozměrech (tj. na úrovni celého vesmíru).
(Zdroj: Petr Vopěnka, Rozpravy s geometrií, Vesmír, Praha, 1995)
