Student World

Před téměř přesně 150 lety, 10. června 1854, přednesl německý matematik Bernhard Riemann přednášku, v níž představil svou koncepci neeukleidovské geometrie.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), profesor matematiky na univerzitě v Göttingen, navázal na práce svých předchůdců Nikolaje Lobačevského, Karla Friedricha Gausse a Jánose Bolyaie. Ve své inaugurační přednášce nazvané Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854, online viz http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom) předložil koncept, jak systematizovat studium všech možných geometrií v rámci široké třídy (kde tzv. euklidovská geometrie představuje nejjednodušší případ), a to z hlediska změn, k nimž dochází u Pythagorovy věty o vztahu mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku.

Od této chvíle již pro osvícené matematicky nebylo sporu o tom, že na jakémkoli zakřiveném prostoru, např. na povrchu koule, lze formulovat analogické postuláty a pravidla uvažování, jako pro přímou geometrii zformuloval Eukleides. Můžeme na povrchu koule nakreslit trojúhelník, ale součet jeho tří vnitřních úhlů nedá dohromady 180 stupňů. Jestliže se podle pátého Eukleidova postulátu rovnoběžné přímky nikdy neprotnou, na zakřiveném povrchu to neplatí. Bylo nasnadě, že matematikové stojí před obrovskou změnou. Prosazení těchto myšlenek ale nebylo zcela snadné. Narážely totiž na nemalý odpor ze strany konzervativních matematiků, kteří se za žádnou cenu nechtěli vzdát jistot, převzatých z Euklidových Základů geometrie (vzniklých už kolem roku 300 př. n. l.).

Co z Reimannova konceptu vyplývá? Libovolný povrch si lze představit jako spojení velkého počtu malých, téměř rovinných dílků. V zásadě se každý malý dílek povrchu chová jako kousek eukleidovské roviny. Společné vlastnosti povrchu vyplývají ze způsobu, jak jsou tyto dílky složeny dohromady. Například různé způsoby sestavení vedou k rozdílům mezi koulí a anuloidem. Každý malý dílek obou zmíněných povrchů může sice vypadat jako eukleidovská rovina, ale celkově jsou oba povrchy velmi rozdílné. S tímto jevem se setkáváme i v každodenním životě, ale to si matematici v polovině 19. století ještě dost dobře neuvědomovali. Opíráme-li se totiž o zkušenosti z našeho okolí, nemůžeme s jistotou určit, zda má Země tvar roviny, koule nebo anuloidu. Z tohoto důvodu jsou postuláty eukleidovské geometrie, souhlasné nadto s Newtonovou mechanikou, tak významné pro běžný život.

Rozdíly se ukážou patrnými mezi povrchy složenými z dílků hladkého tvaru bez ostrých vrcholů nebo záhybů a povrchy s ostrými hranami, jako jsou např. mnohostěny. Povrchy prvního druhu označujeme jako „hladké povrchy“. Na tomto rozdělení založil Reimann veledůležitý pojem „varieta“, jenž představuje zobecnění povrchu pro vyšší rozměry. Povrch je dvourozměrnou varietou, koule a anuloid jsou příklady hladkých dvourozměrných variet. Současná fyzika na základě těchto myšlenek řeší otázku, jakým druhem třírozměrné variety je náš reálný vesmír. Matematici z poloviny 19. století, a mezi nimi i Reimann, ani trochu nezapochybovali o tom, že vesmír je trojrozměrným eukleidovským prostorem. Ale jaký je vesmír z pohledu „zvnějšku“, či přesněji z globálního pohledu? Současná věda přesnou odpověď na tuto otázku nezná, respektive možných odpovědí je k dispozici hned několik.

Ale vraťme se zpět k Reimannově přednášce. Objev, že eukleidovská geometrie není jediná, byl nepochybně „kvantovým skokem“ v dějinách lidského myšlení a jeho důsledky jsou natolik dalekosáhlé, že si je ani Riemann ve své době nemohl představit. Sledujeme-li ze zpětného pohledu historii vědy, poněkud zaráží, že se koncept neeukleidovské geometrie vykrystalizoval až v polovině 19. století. To, že Země není plochou plackou, věděli přece lidé už několik pár stovek let a před očima měli množství zakřivených ploch. Ten byl jedním z prvních matematiků, kteří hledali tzv. „topologické invarianty“ použitelné pro vícerozměrné variety. Přesto byl koncept neeuklidovských geometrií dlouhou dobu považován za jakési abstraktní cvičení. I když nikdo nepochyboval o existenci zakřivených ploch, všeobecně se soudilo, že fyzikální prostor, který tvoří naše univerzum, je eukleidovský. (J. G. North se v publikaci Měřítko vesmíru z roku 1965 zmiňuje o více než osmdesáti pracích o statice, dynamice a kinematice neeukleidovské geometrie uveřejněných během půlstoletí končícího rokem 1915. Snad každý z jejích autorů mohl dospět s názoru, že příslušné výsledné rovnice lze aplikovat na reálný vesmír. Neudělal to žádny. K tomu byla totiž nutná představivost a intelektuální odvaha génia formátu Alberta Einsteina.)

K názorovému obratu, díky němuž se myšlenka eukleidovského vesmíru rozpadla jako domek z karet, došlo o více než šedesát let později, když Albert Einstein v roce 1915 představil vědeckému světu svou novou teorii gravitace. Jejím základním předpokladem bylo, že fyzikální svět vytvářený přítomností hmoty a energie ve vesmíru lze všeobecně popsat pouze neeukleidovskou geometrií. Einstein tedy dal Reimannovým matematickým objevům přesný fyzikální smysl, což změnilo nejen základy fyziky, ale i vědecké (potažmo i kulturně-společenské) paradigma doby. To už je ale nová kapitola, v níž se ukázalo, že Reimannova přednáška v roce 1854 nebyla ani náhodou jen zábavným logickým cvičením pro pár nadšených matematiků.

Ale to ještě zdaleka není vše. Ve stejném roce, kdy Reimann přednesl svůj koncept neeukleidovských geometrií, se ve Francii narodil jiný významný matematik, Henri Poincaré (1854-1912). Poincaré byl jedním ze zakladatelů algebraické topologie, která ke studiu a klasifikaci variet využívá algebraické pojmy. Ruku v ruce s tímto vývojem matematiky šla ve 20. století i fyzika. Fyzikové si v nedávné době uvědomili, že Riemannova geometrie je sice vhodná pro matematický popis vesmíru v dostatečně velkém měřítku, ale na planckovských vzdálenostech je nutno vytvořit nový druh geometrie, který by souhlasil s fyzikou teorie superstrun. Situace se obrátila. Matematici na základě myšlenek z fyziky začali objevovat nové postupy. Tento nový typ geometrie, vytvořený tak jako tak na základě Reimannova podnětu, se označuje jako kvantová geometrie. V centru pozornosti jsou dnes čtyřrozměrné variety (Seibergova-Wittenova teorie) a tvary se svinutými dimenzemi (Calabiho-Yauovy variety), které se uplatňují v teorii superstrun.

Literatura:
Barrow, J. D.: Pí na nebesích (Mladá fronta 2000)
Devlin, K.: Jazyk matematiky (Dokořán, Argo 2003)
Mrázek, J.: Taje matematiky (Práce 1986)
Vopěnka, P.: Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci (Práh 2001)

Internet:
The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)
http://www.emis.de/classics/Riemann

autor Jan Kapoun