Diagonální argumenty (1)

Každý si asi ze školy pamatuje následující tabulku, určující hodnoty základních trigonometrických funkcí pro některé důležité argumenty:

Řádky tabulky odpovídají vybraným hodnotám úhlů, pro které jsou tyto funkce definovány a sloupce odpovídají jednotlivým funkcím: políčko tabulky v průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce tedy udává hodnotu j-té funkce pro i-tý argument.

      Zapomeňme nyní na úhly a goniometrické funkce a podívejme se pouze na čísla, která v tabulce jsou. Můžeme do té tabulky přidat sloupec, který tam ještě není? (poznámka Pavel Houser: Jak dále vyplyne, myslí se tím skutečně libovolný sloupec, ne konstrukce nějaké posloupnosti) Samozřejmě. Mohli například přidat sloupec, který má ve všech třech řádcích hodnotu 1/2; a samozřejmě bezpočet dalších. Představme si nyní ovšem, že bychom měli obdobnou tabulku velikosti nikoli 3´3, ale řekněme 10000´10000, a měli bychom zodpovědět otázku, zda k ní lze přidat sloupec, který v ní ještě není. Co znamená, že v tabulce ještě není? Znamená to, že se od každého existujícího sloupce alespoň v jedné hodnotě liší. Stačilo by ovšem dát do prvního řádku nového sloupce číslo jiné než všechna čísla, která již v prvním řádku jsou.

      Představme si ovšem, že by byla tabulka tvořena pouze čísly 0 a 1 a my bychom měli nový sloupec sestavit opět pouze z těchto čísel. Pak by předchozí metoda nemusela fungovat — číslo, které by bylo jiné než všechna čísla, která tvoří první řádek tabulky, by prostě nemuselo být k dispozici, tak jako v následujícím příkladě

Můžeme i v takovém případě přidat nový sloupec? Nejjednodušší, a zaručeně fungující cestou, jak takový dosud neexistující sloupec vytvořit, je konstruovat ho tak, aby se jeho hodnota v j-tém řádku lišila od hodnoty j-té funkce (to jest j-tého sloupce) v témže řádku. Tím je zaručeno, že se bude výsledný sloupec lišit od každého stávajícího sloupce. Takto zkonstruovanou funkci pak nazýváme antidiagonální funkcí (nebo prostě antidiagonálou) příslušné tabulky.

      Ukažme si nejprve, jak by se konstruovala diagonální funkce výše uvedené tabulky trigonometrických funkcí. V prvním řádku jejího nového sloupce by musela mít jakoukoli hodnotu odlišnou od hodnoty v prvním řádku a prvním sloupci stávající tabulky, tedy jakoukoli hodnotu jinou než 1/2. Ve druhém řádku by pak musela mít hodnotu jinou než je ta ve druhém řádku a druhém sloupci, to jest než 1/Ö2; a ve třetím sloupci pak hodnotu jinou než 1/Ö3. Tím je zaručeno že se nový sloupec neshoduje s žádným z již existujících.

      Diagonálu dané tabulky můžeme očividně zkonstruovat vždy, když jsou splněny dvě podmínky: tabulka musí mít stejný počet řádků jako sloupců a funkce, které jsou v ní uvedeny, musí být schopny nabývat alespoň dvou hodnot. Všimněme si přitom, že nabývají-li více než dvou hodnot (tak jako v našem případě trigonometrických funkcí), existuje diagonálních funkcí mnoho; nabývají-li však právě dvou hodnot, je diagonální funkce určena jednoznačně. Tak je to i v případě naší výše uvedené tabulky:

Pozoruhodné je, že tento postup by zřejmě fungoval i tehdy, kdyby měla tabulka, o kterou jde, jak řádků, tak sloupců nekonečno. (V tomto případě bychom my antidiagonální sloupec samozřejmě nemohli doslova sestrojit, avšak jeho principiální sestrojitelnost se zdá ukazovat, že existuje.) A to, čemu budeme diagonální argument nyní můžeme obecně vyjádřit jako tvrzení, že k takovéto čtvercové tabulce lze vždy přidat ten nový, antidiagonální sloupec.

      Podívejme se nyní na některé aplikace tohoto argumentu

Posloupností přirozených čísel je více než přirozených čísel

Zkonstruujme tabulku, ve kterém je každý řádek i každý sloupec označen přirozeným číslem, a jejíž políčka obsahují také přirozená čísla

Každý sloupec této tabulky je, jak vidíme, tvořen nějakou nekonečnou posloupností přirozených čísel. Protože je však tato tabulka čtvercová, dokážeme zkonstruovat její diagonálu (dokonce jistě nekonečně mnoho jejích variant) – a taková tabulka tedy nemůže nikdy obsahovat všechny posloupnosti přirozených čísel. A protože sloupců této tabulky je tolik, kolik je přirozených čísel, musí být posloupností přirozených čísel více. To znamená, že musí existovat nějaké nekonečno nekonečnější, než je nekonečno přirozených čísel. To je ono nekonečno, kterému se obvykle říká nespočetné.

      Z toho vyplývá, že reálných čísel je více než přirozených. Reálných čísel totiž zřejmě nemůže být méně než posloupností přirozených čísel — každé posloupnosti přirozených čísel totiž odpovídá reálné číslo, které má před desetinou čárkou třeba nulu a tuto posloupnost pak má za desetinný rozvoj. (Tak výše uvedenou tabulku můžeme chápat i tak, že její sloupce symbolizují reálná čísla 0,123…; 0,111…; 0,23712…; …)

Podmnožin každé množiny je více než jejích prvků

To je zřejmé v případě konečné množiny; diagonální argument nám to však dovoluje ukázat i pro nekonečné množiny. Představme si tabulku, jejíž řádky budou označeny prvky nějaké dané množiny M a sloupce podmnožinami M; a do políčka v průsečíku řádku i a sloupce j napíšeme jedničku nebo nulu, podle toho, zda je x_i prvekm p_j:

(V tomto případě tedy platí p₁ = {x₂,x₃, …}, p₂ = {x₁,x₂,x₃, …} atd.). Kdyby byla tato tabulka čtvercová, to jest kdyby bylo prvků M stejně jako podmnožin M, dokázali bychom zkonstruovat diagonálu, která by vymezovala podmnožinu M, která v tabulce není.

      Uvažme nyní množinu, která má nespočetný počet prvků — třeba množinu reálných čísel. Můžeme aplikovat diagonální argument i na ni a ukázat, že jejích podmnožin je ještě více než nespočetně? Tabulka, která by měla nespočetně řádků a sloupců, zřejmě myslitelná není; uchýlíme-li se však k onomu abstraktnějšímu, matematickému vyjádření argumentu, které jsme uvedli výše, lze ho i na případ nespočetné množiny aplikovat. Množina podmnožin nespočetné množiny tedy bude mít více prvků než tato množina; a protože totéž platí i pro množinu jejích podmnožin a množinu podmnožin množiny jejích podmnožin atd., vidíme, že musí existovat nekonečná hierarchie nekonečen — ke každému nekonečnu musí existovat ‚nekonečnější nekonečno‘.

Druhý díl Diagonálních argumentů:
http://www.scienceworld.cz/sw.nsf/ID/85EBBBE4962E59DFC1256E4A004F0278

autor Jaroslav Peregrin