pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku
První dva příklady Hilbertových jsou v populárně-vědecké literatuře frekventované docela často. Jak v plně obsazeném hotelu s nekonečným počtem pokojů uvolnit pokoj pro nového návštěvníka? Jednoduše: každý host se přemístí do pokoje s číslem o jedničku vyšším a nový host se ubytuje v pokoji č. 1. Druhý příklad: Jak do stejného hotelu dostat nekonečno nově příchozích? Opět žádný problém: stačí, když se stávající hosté přemístí do čísla pokoje 2n. Tím budou obsazena sudá čísla a noví hosté mají k dispozici liché pokoje.
Těmito dvěma nejfrekventovanějšími příklady ale Hilbertovy hotely nekončí. Představte si, že provozovatel má kromě našeho hotelu nekonečnou síť hotelů podobných a nyní je všechny zavře. Hosté vyrazí do našeho hotelu. Jak má jeho majitel nyní ubytovat nekonečno nekonečen hostů?
První nápad s novým přiřazením zní třeba takto (podle přesunů stávajících hostů do pokojů s novými čísly):
1-1
2-1001
3-2001
4-3001
Hosté z hotelu dvě půjdou do pokojů 1002, 2002 atd. Hosté z hotelu 3 do pokoje 1003, 2003 atd. Jenomže takhle se uvolnila volá místa jen do hotelu číslo 1000. Co s hosty z hotelu číslo 1001?
Druhá verze využívá násobení. Hosté z hotelu 1 (našeho stávajícího) nechť se usídlí v násobcích dvojky, hosté z hotelu 2 v násobcích trojky. To ale opět nefunguje: už do pokoje č. 6 by nám tato metoda přivedla 2 hosty už při ubytování hostů z hotelu č. 2.
Zkusme tedy raději mocniny.
První hotel – 2, 4, 8, 16
Druhý hotel – 3, 9, 27…
Metoda ovšem selže u násobků 4, ale tady už nás napadne vylepšení asi hned: jako základ mocnin použijeme pouze prvočísla, jichž je stále nekonečný počet, takže jsme se o pokoje nijak neochudili.
Takže:
Hotel č. 1 – pokoje 2, 4, 8, 16
Hotel č. 2 – pokoje 3, 9, 27…
Hotel č. 3 – pokoje 5, 25, 125…
Hotel č. 4 – pokoje 7, 49…
Mimochodem si však povšimněme, že při této metodě dokonce zůstanou některé pokoje neobsazeny: v tomto případě pokoj č. 6 (a dále například pokoje 10 a 12, které nejsou také mocninami prvočísel).
Co kdyby správce chtěl z nějakého důvodu dostat do svého hotelu nejen nekonečno nekonečen hostů, ale ještě obsadit všechny pokoje? Jaký bude algoritmus, který m-tému hostu n-tého hotelu přiřadí číslo pokoje?
Zdroj:
Barrow, John D.: Kniha o nekonečnu
Paseka, Praha 2007
