Dokonalé číslo je takové, které je součtem svých dělitelů. Respektive – protože číslo je dělitelné mj. i samo sebou, počítá se tento součet právě bez "čísla jako takového". Jaká čísla jsou dokonalá a jaké mají obecně vlastnosti?
Studium dokonalých čísel se začalo rozvíjet už v době Pythagorově. Za dokonalá se označovala např. čísla,která jsou součtem čísel nižších (např. 10 = 1 + 2 + 3 + 4), nicméně v užším slova smyslu zůstalo toto označení číslům vyhovujícím výše uvedené větě o dělitelnosti. Tj. např. 6,jehož děliteli, pokud pomineme vlastní šestku, jsou čísla 1, 2 a 3 (1 + 2 + 3 = 6).
Další dokonalá čísla v pořadí jsou 28 a 496. Jejich frekvence rychle klesá, trochu podobně jako u prvočísel.
Jaké pravidlo platí pro dokonalá čísla? Eukleides odvodil, že jde vždy o součin dvou mocnin dvojky, přičemž druhá je ta následující zmenšená o jedničku. Tedy srozumitelněji
dokonalé číslo = 2 exp n * [(2 exp n + 1]- 1). Jde však o podmínku nutnou, nikoliv dostačující: např. 2 exp 3 * (2 exp 4 – 1) = 8 * 15 = 120, což dokonalým číslem není.
(Poznámka: tato nutná podmínka platí pro dokonalá čísla sudá; pokud by nějaké dokonalé číslo bylo liché – což není jisté, viz dále – pak pro něj vzorec pochopitelně platit nebude. 2 exp cokoliv je číslo sudé, ať už druhý činitel bude jakýkoliv, výsledek násobení nemůže být lichý)
Zajímavá je i jiná kategorie čísel, a to totiž čísla, která jsou "skoro-dokonalá", tedy u nichž se součet dělitelů liší od zadaného čísla o jedničku. Dosud se přitom nepodařilo najít číslo, které by bylo o jedničku větší,než součet jeho dělitelů,což byl problém, který trápil již matematiky antické.
Obdobná jako dokonalá číslajsou čísla spřátelené – to jsou dvojice, u kterých platí, že dělitelé jednoho dávají dohromady číslo druhé – a naopak. Nejmenší dvojicí jsou čísla 220 a 284 ísamozřejmě se do součtu dělitelů opět nezapočítává vlastní číslo, tj. 220 a 284).
(Zdroj: Simon Singh: Velká Fermatova věta, Academia, Praha, 2000)
Věnujte také pozornost internetovým distribuovaným projektům, které se snaží o nalezení největšího prvočísla. Existuje totiž vztah mezi prvočísly a dokonalými čísly… Přitom mimochodem dodnes není známo, zda dokonalých čísel je či není konečný počet, ani zda nějaké dokonalé číslo může být liché (zatím jsou všechna nalezená dokonalá čísla sudá).
