Podíváme se na další příklad, kdy přidané dimenze ovlivňují hodnoty měřitelných veličin. Rozměry kompaktifikovaných dimenzí určují vztah mezi silou čtyřrozměrné gravitace (kterou pozorujeme my) a silou gravitace ve vyšších dimenzích, z níž ona čtyřrozměrná původně pochází. Gravitace se v extradimenzích rozředí – je tedy tím slabší, čím je větší objem svinutých dimenzí.
Vraťme se teď k příkladu se zahradní hadicí z 2. kapitoly a podívejme se, jak takové ředění gravitace funguje. Třírozměrný vesmír zahradní hadice budiž analogií třírozměrného bulku vesmíru ohraničeného bránami.
Proudí-li voda do hadice malou dírkou, zpočátku proudí do všech stran, tedy ve směru kterékoli ze tří dimenzí tohoto vesmíru. Jakmile ale voda narazí na stěnu (tedy urazí vzdálenost srovnatelnou s rozměrem „svinutých dimenzí“), bude se dál šířit už jen ve směru podél hadice. Proto se hadice zdá být jednorozměrná, měříme-li zákon gravitační síly na vzdálenostech větších, než je rozměr přidaných (svinutých) dimenzí.
Třebaže voda dále proudí jen ve směru jediné dimenze, tedy hadicí vpřed, její tlak závisí na rozměru hadice ve směru příčném neboli na jejím průřezu.
Nevěříte-li tomu, představte si, že by se tento průřez zvětšil: voda se tak ze vstupní dírky rozstříkne do většího objemu a tlak vody vytékající na konci hadice poklesne.
A teď si představme, že tlak vody představuje gravitační siločáry, konkrétně voda přitékající vstupní dírkou siločáry vycházející z hmotného tělesa. Tyto siločáry se tedy zpočátku budou rozbíhat do směrů všech tří dimenzí stejně jako voda v předchozím příkladu. Když ale narazí na stěny vesmíru (brány), ohnou se a dále budou postupovat už jenom ve směru jediné velké dimenze. V případu s hadicí jsme viděli, že čím větší je její ústí, tím nižší je v ní tlak. Plocha přidaných dimenzí v našem jednoduchém modelu vesmíru v zahradní hadici podobným způsobem určuje, jak zředěné budou siločáry v ménědimenzionálním světě. Čím větší jsou extradimenze, tím slabší bude gravitační síla v našem efektivním vesmíru s méně dimenzemi.
Naprosto totéž platí u srolovaných dimenzí ve vesmíru s libovolným počtem svinutých dimenzí. Čím větší je objem extradimenzí, tím zředěnější, a tudíž slabší bude gravitační síla. Osvětlí nám to vícerozměrná hadice analogická té, o níž byla právě řeč. Gravitační siločáry by se ve vícerozměrné hadici šířily nejprve ve všech směrech včetně těch podél svinutých extradimenzí.
Po nějaké době by siločáry narazily na hranici svinutých dimenzí a dále by se už šířily jen podél nekonečných dimenzí odpovídajících méněrozměrnému prostoru. Počáteční šíření ve směru přidaných dimenzí sníží hustotu siločar v tomto méněrozměrném prostoru, takže síla gravitace měřitelná zde bude menší.
Zpátky k problému hierarchie
Zřeďování gravitace přidanými dimenzemi tedy vede k tomu, že gravitace v méně dimenzích je tím slabší, čím větší je objem extradimenzionálního kompaktifikovaného prostoru. Arkani-Hamed, Dimopoulos a Dvali si povšimli, že toto ředění gravitace do extradimenzí by mohlo za poměrně přijatelných podmínek být dostatečně výrazné, aby vysvětlilo pozorovanou slabost čtyřrozměrné gravitace v našem světě.
Uvažovali následovně. Představme si, že gravitace ve vícerozměrné teorii se neodvíjí od oné enormně velké Planckovy hmotnosti 10 na 19 gigaelektronvoltů, nýbrž od energie mnohem menší. Za ni si Arkani-Hamed, Dimopoulos a Dvali vybrali energii o šestnáct řádů menší, zhruba jeden teraelektronvolt, a to proto, aby eliminovali problém hierarchie. Pokud je to tato nebo nějaká blízká energie, při níž začíná být gravitace silná, hierarchie hmotností v částicové fyzice zcela zmizí. Jak částicová fyzika, tak gravitace budou charakterizovány škálou zhruba jednoho teraelektronvoltu. V jejich modelu potom nebude problém udržet Higgsovu částici lehkou, tedy na hmotnosti rovněž kolem jednoho teraelektronvoltu.
Podle jejich předpokladu je tedy vícerozměrná gravitace při energiích na úrovni této škály rozumně silná interakce, silou srovnatelná s interakcemi ostatních známých sil. Aby dospěli ke smysluplné teorii, souhlasící s našimi pozorováními okolního světa, museli vysvětlit, proč se nám čtyřrozměrná gravitace zdá tak slabá. Novou ingrediencí v jejich modelu byl předpoklad, že extradimenze jsou mimořádně velké. Nakonec sice tyto velké rozměry ještě budeme muset vysvětlit, ale prozatím zůstaňme u jejich návrhu, že svinuté dimenze zkrátka ohraničují velký objem. Budeme-li se teď držet logiky předchozího oddílu, gravitace ve čtyřech rozměrech je potom velmi slabá. Gravitace v našem světě je slabá proto, že extradimenze jsou obrovské, nikoli proto, že by za ni odpovídala obrovská Planckova hmota. Ta se nám při měření ve čtyřech rozměrech pouze zdá velká (a gravitace tudíž velmi slabá), protože se gravitace rozředila ve velkých extradimenzích.
Jak velké by tyto extradimenze musely být? Odpověď závisí na tom, kolik by jich bylo. A protože to zatím experimenty nevyjevily, zvažovala uvedená trojice fyziků pro svůj model několik různých možností. Všimněte si, že nás teď zajímají pouze velké dimenze. Pokud si tedy spolu s vaším obecním strunovým teoretikem myslíte, že prostorových dimenzí je devět nebo deset, máte ještě pořád na výběr, kolik z nich má velké rozměry a kolik jich je dostatečně malých, aby se jimi nebylo nutné v této záležitosti zabývat. Rozměry dimenzí potřebných v modelu Arkaniho-Hameda, Dimopoulose a Dvaliho závisí na jejich počtu, protože i objem závisí na počtu dimenzí.
Jestliže by všechny dimenze byly stejně velké, pak vícerozměrná oblast má větší objem než oblast méněrozměrná, a gravitace by se v ní tudíž ředila více. To lze snadno vyvodit z toho, že méněrozměrné objekty lze vložit do objektů vícerozměrných. Případně se můžeme vrátit k analogii se zahradním rozstřikovačem z 2. kapitoly. Květina dostane vydatnější zálivku z rozstřikovače na rovném (jednorozměrném) úseku hadice než tehdy, když voda stříká do všech stran (do dvourozměrné kruhové oblasti), přičemž předpokládáme, že průměr kruhu a délka hadice jsou stejné. Intenzita zalévání se ve vícerozměrné oblasti ředí rychleji.
Kdyby v návrhu oněch tří fyziků vystupovala jen jediná velká přidaná dimenze, musela by být obrovská. Aby zředila gravitaci na požadovanou míru, její rozměr by se přibližně musel rovnat vzdálenosti Země od Slunce. A to není možné. Pokud by taková dimenze existovala, vesmír by se choval na měřitelných vzdálenostech pětirozměrně. U takovýchto vzdáleností však víme, že platí Newtonův gravitační zákon, a takto velká extradimenze by gravitaci pozměnila tak, že bychom si toho už bývali museli všimnout.
Už u dvou přidaných dimenzí by ale jejich rozměr mohl být přijatelně malý. Jestliže by extradimenze měly být dvě, stačilo by, aby byly zhruba milimetrové; stále by dokázaly gravitaci rozředit v dostatečné míře. Právě kvůli tomu se Arkani-Hamed, Dimopoulos a Dvali tak důkladně věnovali těmto rozměrům. Nejenže jsou tyto rozměry na hranici možností experimentálního zkoumání, ale mohly by i být důležité pro vyřešení problému hierarchie.
Gravitace by se šířila těmito dvěma milimetrovými dimenzemi a její síla by se zředila na nám známou úroveň. Milimetr je samozřejmě poměrně velká vzdálenost, ale jak už jsme uvedli dříve, gravitační testy nejsou ani zdaleka tak přesné, jak byste si mohli myslet. Návrh Arkaniho-Hameda, Dimopoulose a Dvaliho vybudil vědce, aby se začali intenzivněji zabývat svinutými dimenzemi této velikosti.
Bylo-li by extradimenzí více, gravitace by se začala odchylovat od Newtonova zákona až na velmi malých vzdálenostech. V takovém případě by se gravitace dostatečně rozředila, i kdyby tyto dimenze byly poměrně malé.
U šesti dimenzí by například jejich rozměr musel být pouze 10 na –13 centimetru, tedy desetitisícina miliardtiny centimetru. S trochou štěstí bychom si ale mohli i takto malých dimenzí povšimnout. Ne přímo při testování gravitačních sil, o nichž budeme mluvit v příštím oddíle, ale v experimentech ve vysokoenergetických částicových srážečích.
Tento text je úryvkem z knihy:
Lisa Randallová: Tajemství skrytých dimenzí vesmíru
Paseka, 2011
O knize na stránkách vydavatele
