První případ, rovnost/přiřazení, se demonstruje „cik-cak“ metodou, kterou lze očíslovat zlomky, ve druhém případě se pro důkaz nerovnosti používá diagonální argument. Taktéž se v této souvislosti obvykle zmiňuje hypotéza kontinua, tj. zda mezi mohutností celých/racionálních/algebraických vs. reálných čísel existuje ještě „další nekonečno“. Zajímavý a relativně málo uváděný je ale i způsob, jak dokázat, že existuje množina s větší mohutností než reálná čísla. Body v rovině či v prostoru to nejsou, těch je stejně jako na číselné ose.
V jádru stojí odvození, které lze posléze použít pro konstrukci množin s vyšší mohutností už vždy – podmnožin každé množiny je více než prvků této množiny. Čili větší mohutnost než množina reálných čísel má množina příslušných podmnožin. A větší množinou než množina těchto podmnožin je množina podmnožin této množiny atd.
U množin „pochopitelných selským rozumem“ je celkem jasné, že podmnožin je více než prvků (u množiny čísel 1, 2, 3, 4, jsou podmnožinami jak prvky, tak i jejich kombinace). U nekončených množin ale selský rozum tohoto typu neplatí („jedna množina je v druhé a je tam ještě něco navíc“), viz i paradoxní zjištění, že sudých a celých čísel je stejně (obě nekonečna mají stejnou mohutnost, lze provést přiřazení). Chce to dokázat jinak – a jak je v těchto případech časté, důkaz se realizuje sporem, tj. budeme předpokládat, že nějaké přiřazení mezi množinou reálných čísel a množinou jejích podmnožin existuje. Tento důkaz sporem zkonstruoval již Cantor.
Tedy, pokud spárování existuje, máme na jedné straně prvky množiny a na druhé prvky jejích podmnožin
Pí… 2, 3
6…veškeré prvky R kromě čísla 6
7… 6,7, 8
atd.
V důkazu je klíčové, že v nějakých případech je prvek z množiny reálných čísel spárovaný s množinou, která ho obsahuje, jindy nikoliv. Všechny prvky R, které nejsou v sobě přiřazených podmnožinách, tvoří samy množinu, podmnožinu R.
Ta se v hypotetickém přiřazení musí objevit spárovaná proti nějakému reálnému číslu z (R) na pravé straně přiřazení. A nyní, je odpovídající číslo na levé straně obsažené v příslušné množině? Už je jasné, jak vypadá spor: číslo nemůže být v množině, protože jde o množinu prvků, které neobsahují číslo, s nímž jsou spárované. Pokud v ní ale číslo není, pak… atd. Tudíž žádné takové přiřazení nemůže existovat. Argument je obdobný paradoxům založených na heterologických množinách, kdy se také vychází z množin, jež nejsou prvky sebe sama (Heterologičnost – pokračování krétských lhářů).
Zdroj: Robert Kaplan a Ellen Kaplanová: Umění nekonečna, Triton, Praha 2010
Poznámka: Obecně je ale potíž v tom, že tyto neformální důkazy jsou chytré (a asi jediné možné vyjma komunikace mezi profesionálními matematiky), ale založené na nějakým způsobem „intuitivně-logických“ krocích. Současně ale závěry jsou často antiintuitivní a ukazuje se, že řadu jednoduchých dedukcí nelze v těchto případech použít („jasně, že sudých čísel je méně než celých čísel, protože…“). Čili z pohledu nematematika nelze skoro poznat, pokud ho někdo takto vodí za nos. Bohužel.
