Nový balíček hracích karet je seřazen vzestupně po barvách se žolíky a náhradními kartami na jednom konci. Když jej rozbalíme a vyjmeme náhradní karty, můžeme jej zamíchat, abychom se karty v balíčku ocitly v náhodném pořadí. Nyní definujme náhodné míchání jako míchání, po kterém se balíček dostane se stejnou pravděpodobností do jedné ze všech možných permutací 52 karet – dostaneme takzvaný dobře zamíchaný balíček.
Běžné míchání karet má obvykle daleko k náhodnému míchání. Když byly v sedmdesátých letech 20. století použity počítačové balíčky karet pro turnaj v bridži, hráči si velmi stěžovali na nárůst podivně rozdaných listů. Ale ukázalo se, že vinu na tom nesli samotní hráči, kteří nebyli zvyklí míchat karty pořádně, což mívalo za následek větší počet podobně rozdaných listů, než bychom dostali z dobře zamíchaných balíčků.
Dva nejběžnější způsoby jak zamíchat karty je takzvané farao, při němž se balíček rozdělí na dvě poloviny a ty se pak vsunou do sebe; a běžné výměnné míchání, při kterém se „porce“ karet vytahují náhodně z balíčku a opět náhodně se do něj vkládají.
Matematici zkoumali problém míchání a zjistili, že běžné míchání není zrovna dobrý způsob, neboť k náhodnému uspořádání se při něm dospěje až po stovkách iterací. Šest nebo sedm farao míchání naopak stačí k vytvoření dobře zamíchaného balíčku. Pozoruhodné je, že méně než pět míchání zcela zřetelně nepostačuje. Přechod od pořádku k náhodnosti je při farao míchání rychlý; podobně rychle se hrudky mouky v těstě téměř magicky rozptýlí po několika zamícháních vařečkou.
Lze jednoduše ukázat, že po pěti farao zamíchání nejsou všechny permutace 52 karet stejně pravděpodobné. Ve skutečnosti některých permutací nelze dosáhnout! Pochopíme to, když si probereme druhy sekvencí, které farao míchání poskytuje.
Řekněme, že máme balíček osmi karet v pořadí 12345678. Po jednom farao zamíchání je možná následující sekvence: 12563784. Tato sekvence se skládá ze dvou vzestupných sekvencí, nejdelších možných sekvencí karet v rostoucím pořadí (nemusí se nutně „dotýkat“). Zmíněné sekvence jsou 1234 a 5678.
Pokud začneme míchat uspořádaný balíček, můžeme po prvním farao zamíchání vytvořit pouze dvě vzestupné sekvence. Po druhém dostaneme nanejvýše čtyři – rozdělením dvou vzestupných sekvencí vytvořených prvním mícháním. Každým dalším zamícháním můžeme jen zdvojnásobit počet vzestupných sekvencí. Třetím zamícháním tedy můžeme vytvořit osm, čtvrtým šestnáct a pátým třicet dva vzestupných sekvencí. Protože balíček s 52 kartami v obráceném pořadí se skládá z 52 jednokaretných vzestupných sekvencí (a padesát dva je více než třicet dva), není možné dostat balíček do obráceného pořadí pomocí pěti farao míchání.
Poté co matematici vyzkoušeli různé míry pro postačující náhodnost, tvrdí, že šest nebo sedm farao míchání představuje magické číslo, po němž další míchání již nepřinášejí žádnou zřetelnou změnu v míře náhodnosti.
V roce 1986 změřil Persi Diaconis (s Davidem Aldousem; v roce 1992 jej dále propracoval s Davem Bayerem) očekávaný zisk dokonalého hráče, který by uměl využít zbytkových struktur uspořádání, jež by se zachovaly po nedostatečném míchání. Po sedmi zamícháních klesá očekávaný zisk rychle k nule. V roce 2000 Nick a Lloyd Trefethenovi zvolili jiný přístup. Použili teorii informace, kterou založil Claude Shannon (ten se kdysi pokoušel rozbít bank a později vydělal miliony na cenných papírech). Jestliže známe pořadí karet v balíčku, máme úplnou informaci. Pokud je balíček dokonale zamíchaný, máme nulovou informaci. Představme si, že se pokoušíme poslat zprávu pomocí šifrovacího systému, který se zakládá na tom, co o balíčku víme; pokud máme nějakou informaci, pak podle teorie informace, můžeme posílat zprávu, je-li na to dostatek času. Pomocí počítačové simulace Trefethenové zjistili, že po šesti farao mícháních se množství informace v balíčku prakticky rovná nule.
Jaká poučení pro karetní hry nám z toho plynou? Naučte se farao míchání. Nemíchejte karty běžným způsobem, pokud hodláte při hře vycházet z předpokladu, že balíček je dobře zamíchaný. A míchejte alespoň šestkrát. Kdokoli míchá déle, zdržuje hru.
Tento text je úryvkem z knihy:
Amir D. Aczel
Náhoda
Příručka pro hazardní hráče, zamilované, obchodníky s cennými papíry a pro všechny ostatní
Dokořán 2008
O knize na stránkách vydavatele
Viz také:
Lidský mozek není připraven utkat se s pravděpodobností
Perlička: hrátky s kartami
