Objev infinitezimálního počtu neboli integrálů je spojen především se sporem mezi Leibnitzem a Newtonem. Anglický fyzik své myšlenky zřejmě zformuloval jako první, nicméně je nezveřejnil a byl proto předstižen německým filosofem Leibnitzem.
Spor mezi oběma vědci obsahuje řadu aspektů, která Newtona nestaví právě do příznivého světla. Posléze svého soka například přesvědčil, aby rozhodnutí bylo svěřeno do rukou britské akademie věd, která však byla ovládána Newtonovými přívrženci. Ti samozřejmě rozhodli v Newtonův prospěch.
Newtonovy životopisy ukazují, že ve sporech se svými konkurenty vůbec používal často poměrně "drsných" prostředků – například se zformulováním nějaké teorie čekal do doby, kdy předpokládaní oponenti již nebyli naživu.
Jak dokonce uvádí Stephen Hawking, přiměřenou realizací Newtonových charakterových vlastností byla funkce v královské mincovně, při níž posílal falšovatele měny na šibenici.
V případě objevu integrálů však nyní ponechme stranou spor mezi oběma vědci a podíváme se raději na logiku, kterou byl veden Leibnitz (podle knihy Joseph Moreau: Svět Leibnitzova myšlení, Oikúmené, Praha, 2000). U kořene úlohy samozřejmě stojí potřeba vypočítat plochy pod křivkou, konkrétně pak u úloh kinetického typu. Tento balík problémů se řeší od Gagilea a jeho zkoumání volného pádu (viz související článek o šikmé věži v Pise).
Pokud na osu Y budeme vynášet rychlost jako funkci času (osa X), prostor pod křivkou odpovídá velikosti dráhy, kterou naše těleso urazí. Pro pochyb rovnoměrný i rovnoměrně zrychlený je řešení problému nabíledni, počítáme obsah obdelníku nebo pravoúhlého trojúhelníku. Pro složitější pohyby (a křivky obecně) je již potřeba právě infinitezimálního počtu. Úloha je to inverzí k počtu diferenciálnímu, tedy k hledání tečny – to však víme až dnes.
Na co přišel Leibnitz (a Newton) a co unikalo jejich předchůdcům? Řešení úlohy je známé: k ose X budeme vynášet kolmice, čímž si prostor pod křivkou rozdělíme na řadu lichoběžníků. Mezi dvěma kolmicemi těsně u sebe si totiž dovolíme křivku nahradit přímkou. Jaký je však u této úsečky sklon (směrnice, nějaká goniometrická funkce úhlu)? A jaká je vlastně "suma" těchto směrnic?
Tyto otázky si klad již Pascal, ale teprve Leibnitz si uvědomil, že i nekonečně malé veličiny si uchovávají své původní poměry – jinak řečeno, jak poznamenal první komentátor Leibnitzových spisů, "nuly si uchovávají stopy svého původu". Tato logika již přímo propojuje diferenciální a integrální počet.
Mimochodem: Leibnitz také jako první ukázal při (převážně myšlenkových) pokusech s tělesy padajícími na páku, že kinetická energie se zachovává ve tvaru m * v^2. Descartes se přitom ještě krátce před Leibnitzem chybně domníval, že příslušná úměra platí ve tvaru m * v.
Poslední poznámka: Leibnitz, podobně jako Descartes či Newton, pokládali své objevy víceméně za důkaz idealistické filosofie a Boží existence. Nicméně už za Leibnitzova života se objevily pokusy budovat vědu na nikoliv náboženských základech a vysvětlovat svět ze sebe samého. Leibnitz proti tomuto pojetí sice protestoval, nicméně jeho nástup zastavit nedokázal.
