***pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku
Zhruba před rokem vzbudil na Science Worldu velký zájem tzv. písemkový paradox (zde). Pojďme se podívat na další z řady logických hříček v podání Raymonda Smullyana.
Obálkový paradox je zadán zhruba následujícím způsobem:
Na stole leží dvě obálky, z nichž jedna obsahuje dvakrát více peněz než druhá. Vybereme náhodně jednu z obálek a otevřeme ji. Teď dostáváme možnost si buď vzít danou částku, nebo ji vyměnit za obsah ve druhé obálce. Co je výhodnější?
Představte si, že v otevřené obálce je částka x. Ve druhé obálce bude s pravděpodobností 0,5 částka 2x, s pravděpodobností 0,5 zde bude částka x/2. S pravděpodobností 0,5 tedy ztratíme částku x/2, se stejnou pravděpodobností však získáme částku x. Podle všeho je tedy výhodnější zkusit druhou obálku.
Teď malá odbočka oproti Smullyanovu výkladu. Podobné paradoxy jsou často zkonstruovány nikoliv „matematicky“, ale na základě psychologie nebo ekonomických úvah. Pokud byste třeba mohli získat miliardu Kč či s poloviční pravděpodobností nedostat buď nic, nebo bilion Kč, pak by se většina z nás rozhodla pro první možnost. Bereme to prostě tak, že od určité (mezní) hodnoty už výše částky nehraje roli, ale klíčové je dostat alespoň něco.
Obálkový paradox ale nespadá do této kategorie úloh. Pokud bychom se pohybovali v takto řádově vysokých částkách, pak by nám asi bylo jedno už i to, zda dostaneme polovinu nebo dvojnásobek a celý paradox ztrácí smysl. Naopak u částek pro nás ještě zajímavých pohyb 50 % sem či tam roli hraje. Řekněme, že se pohybujeme právě v této oblasti, problém je tedy nikoliv psychologicko-ekonomický, ale čistě logický/matematický.
Pojďme teď dále. Stojí za to si uvědomit, že ať už v první obálce najdeme jakoukoliv částku, VŽDY bude výhodné ji vyměnit. Tedy obálku ani nemusíme otevírat. Jenže – první obálku tedy neotevřeme, přesuneme se ke druhé obálce – a tam zjistíme, že je opět výhodné po jejím otevření bez ohledu na výši částky skočit k obálce první. A nebo druhou obálku ani neotevírat, ale zkusit první obálku, a tu ale klidně neotvírat a skočit zase ke druhé… Atd.
Jak z celého paradoxu ven?
Zdá se, že problém nemá řešení, Smullyan ho však namísto vysvětlení ještě dále vyostřuje. Ukázali jsme si, že při výměně obálek můžeme získat buď částku x, nebo ztratit částku x/2. Protože pravděpodobnost obou jevů je 0,5, dokázali jsme si výhodnost výměny obálek. Teď ale označme jako D rozdíl mezi vyšší a nižší částkou (totožný s nižší částkou), a to bez ohledu na to, v které obálce je jaká částka. Pokud při výměně obálek budeme mít štěstí, získáme částku D. Pokud budeme mít smůlu, ztratíme částku D. Náhle se zdá, že výměna obálek je tedy hrou „nula od nuly pojde“. Vyšel nám úplný opak předešlých předpokladů. Jak je to možné, obě úvahy přece nemohou platit současně…
Zdroj:
Raymond Smullyan: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy, Portál, Praha, 2004
