Student World

Tento text je zkráceným a nekorigovaným úryvkem z knihy
David Acheson: 1089 a další parádní čísla – Matematická dobrodružství

***

Matematika vystrkuje růžky na těch nejnečekanějších místech. Asi byste neřekli, že bude mít co společného s indickým trikem s lanem, že?

Jde možná o nejslavnější trik v celé historii magie: kouzelník vrhne dlouhé lano do vzduchu a místo toho, aby lano spadlo na zem, zůstane trčet ve svislé poloze navzdory gravitaci. Malý chlapec pak vyšplhá po laně a zmizí na vrcholku.
Avšak co to má společného s matematikou? A proč u všech všudy potom z redakce jistého známého britského deníku telefonovali zrovna mně do Oxfordu, jestli náhodou nevím, jak se tento trik provádí?

Pro odpověď na tuto otázku se musíme vrátit, věřte nebo nevěřte, až do roku 1738, kdy švýcarský matematik Daniel Bernoulli publikoval svůj převratný článek o pohybu kyvadla. Kyvadlo, které se pohybuje ze strany na stranu, stihne určitý počet kyvů za jednotku času. Tato veličina se nazývá přirozeným kmitočtem kyvadla. Bernoulli ale studoval teleskopické kyvadlo, tedy o N kyvadel zavěšených postupně jedno za druhým, jakýsi visící řetěz o N článcích. Objevil, že tento systém je schopen kmitat s kterýmkoli z N rozličných přirozených kmitočtů

f(1),…,f(N)

kde f(1) označuje nejnižší kmitočet a f(N) nejvyšší. Při nejnižším kmitočtu se kyvadla pohupují víceméně společně, skoro jako by tvořila jediné dlouhé kyvadlo. Naopak při nejvyšším kmitočtu kmitají za sebou visící kyvadla v každém okamžiku opačnými směry.

Taková byla situace v roce 1738. Abychom získali souvislost s indickým trikem s lanem, musíme se nyní na systém N kyvadel Daniela Bernoulliho podívat z jiného úhlu. Konkrétně jej musíme otočit vzhůru nohama.
Takže jednoho deštivého listopadového rána roku 1992 se mi stala taková věc, že jsem seděl a dokazoval podivnou novou matematickou větu. A ač jsem byl uvyklý tomu, že z diferenciálních rovnic často plynou překvapivé závěry, musím přiznat, že u této jsem jen nevěřícně kroutil hlavou. Protože z věty plynulo, že je možné vzít N spřažených kyvadel, postavit je vzhůru nohama, takže budou pečlivě vybalancována jedno na druhém, a potom stabilizovat celý systém tak, že rozvibrujeme osu nahoru a dolů.

Jde o něco úplně jiného než je dejme tomu balancování tyče na dlani. K tomu stačí pohybovat rukou ze strany na stranu podle toho, na kterou stranu se zrovna tyč naklání. Tady ale jde o kmitání osou ve směru nahoru a dolů, a tyto kmity jsou naprosto pravidelné, a tedy předem určené, bez jakýchkoli změn, a kyvadla se vesele pohupují sem a tam.

To, že se takto dá stabilizovat jedno vzhůru nohama otočené kyvadlo, je dobře známo díky pozoruhodnému článku Andrewa Stephensona, aplikovaného matematika z univerzity v Manchesteru, z roku 1908. Nová věta je formulována ve stejném duchu, ale zachází do mnohem větší hloubky a tvrdí, že stejný kousek lze sehrát s libovolným konečným počtem spřažených kyvadel bez ohledu na jejich nejrůznější tvary a velikosti.

Co mne na celé věci potěšilo nejvíce, je fakt, že existuje přímé spojení mezi větou a Bernoulliovou prací z roku 1738. Neboť namísto toho, abychom se museli explicitně zabývat spoustou komplikovaných a nepříjemných detailů týkajících se jedné konkrétní soustavy spřažených kyvadel, stačí znát pouze dva klíčové parametry f(1) a f(N), které, jak jsme viděli výše, již charakterizují kmity soustavy zavěšené obvyklým směrem, tedy dolů.

V praxi je obvykle f(N) na 2 mnohem větší než f(1) na 2. Věta říká, že v takových případech budou vibrace osy stabilizovat systém postavený na hlavu tehdy, jestliže jsou splněny dvě podmínky… (poznámka Pavel Houser: Omlouváme se, ze vynechány 2 řádky "matematické sazby") Závěr zněl, že "trik" se může podařit pokud rozkmitáme osu nahoru a dolů o dostatečně malý kousek s dostatečně vysokou frekvencí.

Matematicky se to zdálo být jasné. Sestrojil jsem dokonce i počítačový model, založený zcela na příslušných diferenciálních rovnicích, a vše nasvědčovalo tomu, že věta je v pořádku. Je ale možné, že by to skutečně fungovalo v praxi? V této souvislosti jsem měl veliké štěstí, že přímo v Oxfordu, v Clarendonově laboratoři pracoval Tom Mullin.
Tom je jedním z nejlepších světových experimentátorů v oblasti chaosu. Měl jsem již příležitost vidět ho při pokusech se spřaženými kyvadly s vibrující osou, kterými demonstroval chaotický pohyb. K tomu, abych otestoval závěry mé věty v praxi, jsem ho musel přemluvit k novým pokusům s mnohem vyššími vibračními kmitočty.

Moc přemlouvání nebylo zapotřebí. Trvalo mu pouhé tři dny, než uvedl dvojité kyvadlo obrácené vzhůru nohama do chodu, a ačkoli se trojité kyvadlo ukázalo jako trochu problematičtější, nakonec zvládl i to. Kmitočty, se kterými pracoval, byly dost vysoké. Například pro padesáticentimetrové trojité kyvadlo vibrovala osa nahoru a dolů přibližně o dva centimetry, a to asi čtyřicetkrát za vteřinu.

Nicméně trik skutečně fungoval, a to lépe, než bychom si kdy uměli představit. Byli jsme přímo šokování tím, jak stabilní může takové na hlavu postavené zařízení být. Pokud byla kyvadla zhruba v jedné přímce, pak jsme je mohli vychýlit skoro až o čtyřicet stupňů, a ona se vždy bez problémů postupně navrátila do tvaru svislé přímky.

V listopadu 1993 jsme otiskli naše výsledky v časopise Nature a myslím, že jsme doufali, že naše články vzbudí značný zájem veřejnosti. Nature vychází vždy ve čtvrtek a následující den odtud často přebírají celostátní deníky některé články, takže jsme dychtivě očekávali páteční ráno. Nakonec se ale ukázalo, že před naším článkem dostal přednost jiný, nazvaný Testosteron a délka života, který rozebíral otázku, zda by muži žili déle, kdyby se nechali kastrovat.

Avšak v následujících měsících jsme spolu s Tomem měli několik občasných přednášek o našich výsledcích a oba jsme se v nich občas zmínili — samozřejmě žertem — o jakési možné vzdálené analogii mezi naším podivným balancujícím zařízením a indickým trikem s lanem. Myslím, že pravděpodobně právě díky tomu se lidé z BBC doslechli o našich výsledcích a v říjnu 1995 se náš pokus krátce objevil v televizním programu Tomorrow’s World.

Co to kdysi řekl Andy Warhol? Něco ve smyslu, že každý bude slavný na patnáct minut? V našem případě to byly spíše tři nebo čtyři minuty, ale i tak jsme si tu chvilku pěkně užili.

Toto všechno se pochopitelně odehrálo před několika lety. Na větu o obráceném kyvadle jsem si zatím zvykl natolik, že mi občas připadá skoro až normální. Ale přesto hluboko ve svém nitru vím, že tomu tak není. Možná to není úplně totéž jako indický trik s lanem, ale je to také pěkně ujetá věc.

***

Tento text je zkráceným a nekorigovaným úryvkem z knihy
David Acheson: 1089 a další parádní čísla – Matematická dobrodružství

Překlad Luboš Pick, 184 stran, 36 obrázků a 100 grafů, 198 Kč, http://www.dokoran.cz/index.php?1089_a_dalsi_paradni_cisla&p=book.php&id=185

Anotace vydavatele:
Zvolte si libovolné trojmístné číslo, jehož první číslice se liší od třetí alespoň o dvě. Napište je v převráceném pořadí a menší z obou získaných čísel odečtěte od většího. K výslednému číslu přičtěte totéž číslo napsané převráceně. Dostali jste 1089? Pak jste počítali správně. Milá a vtipná knížka Davida Achesona představuje pozoruhodně zábavný přehled matematické krajiny. Jednotlivá témata zahrnují známé i méně známé fascinující hádanky (královecké mosty, problém balení pomerančů, Velkou Fermatovu větu, indický trik s provazem atd.), které přesahují i do topologie a fyziky. Autor popisuje nejkrásnější matematické vztahy, významné historické souvislosti, a přináší i návod jak správně dělat chyby. Text je výstižně ilustrován světovými karikaturisty.

Příspěvky o éteru a další nevztahující se k tématu tohoto článku, jakož i komentáře od člověka z diskusního fóra na Science Worldu vyloučeného, byly z komentářů odstraněny. Zájemci je naleznou v připojeném souboru, a to včetně odkazů na fóra, kde lze v těchto debatách pokračovat do sytosti.

autor