Student World

 Řešení včerejší úlohy

Zadání: (1) Dvě cestující vyrazily ve stejný okamžik opačnými směry po okružní železnici. Vlaky vyjíždějí oběma směry každých patnáct minut. Východním směrem trvá celý okruh tři hodiny, západním dvě hodiny. Kolik protijedoucích vlaků každá cestující potkala, nepočítáme-li vlak, který vyjel z nádraží společně s jejím vlakem? (2) Stejné zadání, ale nyní každá z cestujících započítala jako první ten vlak, ve kterém seděla její soupeřka. Kolik vlaků každá z nich napočítala?

Výsledek: (1) Obě cestující potkaly 19 vlaků. (2) Cestující východním směrem potkala 12 vlaků, cestující západním směrem 8 vlaků.

Řešení: Jedním směrem trvá cesta 180 minut, druhým 120. Vezměme si úhlovou míru 360 stupňů a rozdělme železniční okruh na 360 stejných dílků. Jedním směrem se vlak pohybuje rychlostí dvou dílků za minutu, přičemž intervaly mezi jednotlivými vlaky činí 30 dílků. Opačným směrem urazí vlak tři dílky za minutu a interval činí 45 dílků. Vlak, který vyjíždí východním směrem, je v okamžiku startu vzdálen od prvního vlaku, který na cestě potká, 45 dílků. Z této vzdálenosti urazí východní vlak dvě pětiny, zatímco západní vlak tři pětiny. Vlaky se tedy potkají v okamžiku, kdy východní vlak urazil 18 dílků. A tak dále. Startující západní vlak dělí 30 dílků od prvního vlaku, který brzy potká; z nich urazí západní vlak tři pětiny, zatímco východní dvě pětiny. Vlaky se tedy setkají v okamžiku, kdy západní vlak urazí 18 dílků, a tak dále. Takže kdybychom rozdělili okruh devatenácti stanicemi na dvacet stejných částí, z nichž každá měří 18 dílků, pak by se vlaky potkávaly v každé stanici. V případě (1) projedou obě cestující 19 stanic a potkají 19 vlaků. Avšak v případě (2) cestující východním směrem začne počítat až po dvou pětinách cesty, tedy na osmé stanici, a napočítá tak dvanáct stanic. Podobně cestující opačným směrem napočítá osm stanic. Setkají se po dvou pětinách ze tří hodin, neboli po třech pětinách ze dvou hodin, čili po 72 minutách.

Tento text je úryvkem z knihy:

Lewis Carroll: Zamotaný příběh, Dokořán 2009

O knize na stránkách vydavatele

Foto Wikipedia, licence obrázku public domain

Parní lokomotivy na české Wikipedii 

autor