Řekněme, že budu házet férovou mincí – tedy takovou, u které je pravděpodobnost, že padne panna nebo orel, stejná a rovná se jedné polovině – a budeme počítat, kolikrát která strana padne. Jak se budou tyto počty vyvíjet? Pokud například v jistém okamžiku budou panny významně vést nad orly, řekněme, že jich bude o 100 více, lze očekávat, že orli budou mít tendenci své kolegyně v blízké budoucnosti dohnat?
Často se mluví o údajném „zákonu průměrů“, založeném na intuitivním pocitu, že vrhy mincí se po nějakém čase vyrovnávají. Někteří lidé dokonce věří tomu, že pravděpodobnost, že padne orel, v takových případech narůstá, a hovoří pak o tom, že orel je „pravděpodobnější“. Druzí tvrdí, že mince nemá žádnou paměť – a pravděpodobnost orla i panny tedy zůstává na jedné polovině – a vyvodí z toho, že žádná tendence k vyrovnávání neexistuje.
Kdo má pravdu?
Stejný problém se objevuje v mnoha rozličných situacích. V novinách najdeme tabulky četnosti výskytu jednotlivých čísel v loteriích. Měly by takové tabulky ovlivnit náš výběr čísel při sázení? Jestliže v nějaké oblasti bývají běžně velká zemětřesení každých padesát let a za posledních šedesát let k žádnému nedojde, máme to považovat za „zpoždění“? Jestliže letadla havarují v průměru každé čtyři měsíce a tři měsíce uplynou bez nehody, měli bychom očekávat brzy letecké neštěstí?
Ve všech uvedených případech je odpověď záporná – i když pokud jde o zemětřesení, jsem přístupný debatě, protože delší absence velkého zemětřesení může být dokladem kolosálního nahromadění tlaku pod bodem zlomu. Náhodné procesy, které jsou ve hře, nebo lépe řečeno matematické modely, které tyto jevy popisují, však žádnou paměť nemají.
Tím to ale nekončí. Záleží na tom, co míníme výrazem „dohnat“. Dlouhá řada panen nikterak neovlivní pravděpodobnost orla v příštím hodu, přesto však existuje jistý princip, díky němuž se počty hodů mají po dlouhém čase tendenci vyrovnávat. Například po řadě hodů, kdy padne stokrát panna a ani jednou orel, je pravděpodobnost toho, že někdy v budoucnu se počty vyrovnají, rovna jedné. Jevy s pravděpodobností 1 obvykle považujeme za „tutové“ a jevy s pravděpodobností 0 za „nemožné“, ale v tomto případě by teoreticky počet hodů mohl být nekonečný, takže raději hovoříme o „skoro jistých“ a „skoro vyloučených“ jevech. Pro praktické účely můžeme slovo „skoro“ vynechat.
Stejné pravidlo platí bez ohledu na to, jak velký je náskok panen. I kdyby byl třeba jeden kvadrilión, pořád je „skoro jisté“, že je orli jednou doženou, budeme-li házet dostatečně dlouho. Možná vás znepokojuje jistý nesoulad tohoto tvrzení s poznatkem, že mince nemá žádnou paměť. Proto spěchám s dodatkem, že na druhé straně také existuje jistý smysl, v němž počty obou padlých stran mince nemají tendenci se vyrovnávat! Padlo-li nám kupříkladu o 100 panen více než orlů, pak pravděpodobnost toho, že jednou bude jejich náskok činit alespoň milión, je rovněž rovna jedné.
Nyní si ukážeme, jak jsou tyto otázky kontraintuitivní. Představme si, že místo mince budeme házet kostkou a budeme počítat, kolikrát padne každá z hodnot 1 až 6. Předpokládáme, že každá strana má stejnou pravděpodobnost, a to 1/6. V okamžiku, kdy začínáme, jsou body všech stran na nule. Po několika hodech se většinou jednotlivé počty začnou lišit. Samozřejmě potřebujeme nejméně šest hodů, aby vůbec nastala možnost, že se vyrovnají. Jaká je pravděpodobnost, že se někdy v budoucnu po dostatečně vysokém počtu hodů počty všech šesti stran opět vyrovnají? Na rozdíl od panen a orlů tato pravděpodobnost není rovna jedné. Ve skutečnosti je nižší než 0,35.
***
Abychom tomu porozuměli, musíme nejprve zobecnit koncepci náhodné procházky na vícerozměrný případ. Například nejjednodušší náhodná procházka v rovině se pohybuje po vrcholech nekonečné čtvercové mřížky. Začneme v počátku a provedeme krok severním, východním, jižním nebo západním směrem, každý s pravděpodobností ¼. Trojrozměrná náhodná procházka na krychlové mřížce v prostoru je velice podobná, jen teď máme k dispozici šest směrů – na sever, na jih, na východ, na západ, nahoru a dolů, každý s pravděpodobností 1/6.
Opět se dá dokázat, že pro dvojrozměrnou náhodnou procházku je pravděpodobnost toho, že se někdy vrátí do počátku, rovna jedné. Stanislaw Ulam z Los Alamos, jehož nejznámějším objevem je atomová bomba, dokázal, že ve třech dimenzích je situace jiná. Zde je pravděpodobnost návratu do počátku rovna přibližně 0,35. Takže ztratíte-li se v poušti a touláte se nazdařbůh, jednou narazíte na oázu. Když se však ztratíte v kosmu a vydáte se na náhodnou procházku, pak je šance přibližně jen jedna třetina, že se vrátíte na svou domovskou planetu.
Můžeme použít náhodnou procházku k útoku na problém s kostkou. Označme šest směrů na trojrozměrné náhodné procházce čísly na kostce: 1 = sever, 2 = jih, 3 = východ, 4 = západ, 5 = nahoru, 6 = dolů. Házejme opakovaně kostkou a posunujme se po mřížce podle toho, jaké číslo padne. V tomto případě „návratem do počátku“ rozumíme „stejný počet jedniček jako dvojek, stejný počet trojek jako čtyřek a stejný počet pětek jako šestek“. Pravděpodobnost tohoto jevu je asi 0,35. Takže silnější podmínka „všech šest čísel má stejnou četnost“ musí mít pravděpodobnost nižší než 0,35.
Dokonce i nejjednodušší jednorozměrná náhodná procházka má mnoho rysů, které jsou v rozporu s intuicí. Představme si, že zvolíme předem nějaký velký počet hodů, například milión, a sledujme, zda se panny nebo orli dostanou do vedení. Jakou část celkového času by měly vést panny? Přirozený tip je ½. Kupodivu je to nejméně pravděpodobná varianta. Nejpravděpodobnější jsou právě opačné extrémy, tedy že panny budou ve vedení buď neustále, a nebo vůbec!
Tento text je úryvkem z knihy: Ian Stewart: Jak rozkrájet dort a další matematické záhady
Dokořán, Praha 2009
O knize na stránkách vydavatele
Přecházející úryvek z knihy: Jak rozdělit dort
