Student World

Určující vlastnost Fibonacciho posloupnosti – každé nové číslo je součtem předchozích dvou, tj. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 – vznikla původně jako výsledek nerealistického popisu chovu králíku. Nic nenaznačovalo, že na imaginární posloupnost králíků narazíme v tolika jevech přírody a kultury. Jen stěží se pak mohlo někomu zdát, že experimentování se základními vlastnostmi Fibonacciho posloupnosti by se mohlo stát branou k pochopení matematiky neuspořádaných systémů. Avšak přesně to se stalo v roce 1999. Informatik Divakar Viswanath, který byl v té době postgraduálním pracovníkem na Výzkumném ústavu matematických věd v kalifornském Berkeley si drze položil otázku „co kdyby?“, která nečekaně vedla k objevu nového výjimečného čísla: 1,13198824…
Nádhera Viswanathova objevu spočívá především v jednoduchosti jeho základní myšlenky. Viswanath se pouze zeptal: Jestliže stejně jako u Fibonacciho posloupnosti vyjdeme od dvou čísel 1, 1, avšak místo abychom je sečetli, hodíme mincí, a výsledek hodu za nás rozhodne, zda poslední číslo od předešlého přičteme nebo odečteme. Určíme si například, že „hlava“ (H) znamená přičíst (třetím číslem tak bude 2), zatímco „orel“ (O) znamená odečtení (třetím číslem bude 0). V tomto postupu pokračujeme – pokaždé si hodíme mincí, což rozhodne, zda vytvoříme nové číslo přičtením nebo odečtením předchozího. Například série hodů HOO HHO HOO H vytvoří posloupnost 1, 1, 2, -1, 3, 2, 5, -3, 2, -5, 7, 2. A na druhé straně (dosti nepravděpodobná) série HHH HHH HHH HHH… vyprodukuje původní Fibonacciho posloupnost.
Členy Fibonacciho posloupnosti se rychle zvyšují podle mocniny zlatého řezu. Připomeňme si, že například sedmnácté číslo v posloupnosti vypočítáme umocněním hodnoty zlatého řezu na sedmnáctou, vydělením druhou odmocninou pěti a zaokrouhlením výsledku na nejbližší celé číslo (vyjde 1 597). Jelikož však Viswanathova posloupnost vznikla zcela náhodnou sérií házení mincí, nebylo vůbec jasné, že by z ní měl vyplynout nějaký stálý růstový vzorec, byť bychom ignorovali záporná znaménka a počítali jen absolutní hodnoty čísel. Viswanath však ke svému překvapení zjistil, že když bude ignorovat záporná znaménka, budou se hodnoty čísel v jeho náhodné posloupnosti stále zvyšovat jasně definovatelnou a předvídatelnou rychlostí. Konkrétně to bude tak, že v podstatě se stoprocentní pravděpodobností se bude sté číslo v jakékoli takto vytvořené posloupnosti vždy blížit sté mocnině zvláštního čísla 1,13198824… a čím vyšší bude člen této posloupnosti, tím blíže také bude odpovídající mocnině tohoto čísla. K výpočtu tohoto zvláštního čísla musel Viswanath použít fraktálů a spolehnout se na novou matematickou poučku, formulovanou počátkem 60. let matematiky Hillelem Furstenbergem z Hebrejské univerzity v Jeruzalémě a Harry Kestenem z Cornellovy univerzity. Tato dvojice prokázala, že v celé kategorii náhodně generovaných posloupností se bude absolutní hodnota čísel umístěných v této sekvenci na vysokých místech stále více blížit příslušné mocnině určitého stálého čísla. Furstenberg a Kesten však nevěděli, jak toto číslo vypočítat; Viswanath na to přišel.
Význam Viswanathovy práce nespočívá jen v objevu nové matematické konstanty, což je samo o sobě důležitým počinem, ale i v tom, že nádherně ilustruje, jak něco, co vypadá jako zcela náhodný postup, může vést k plně deterministickému výsledku…

Tento text je úryvek z knihy
Mario Livio: Zlatý řez
anotace
Co mají společného půvabné uspořádání okvětních lístků růže, slavný obraz Salvadora Dalího Poslední večeře, nádherné spirálovité skořápky měkkýšů a rozmnožování králíků? Jen stěží uvěříme, že tyto na první pohled naprosto nesourodé jevy se skutečně točí kolem jediného čísla, respektive geometrického poměru, takzvaného fí. Toto číslo začíná 1,61803 a je v jistém ohledu nejiracionálnějším ze všech iracionálních čísel vůbec. Znali ho již starověcí matematikové a v 19. století získalo čestná označení "zlaté číslo", "zlatý poměr" a především "zlatý řez". Obdiv k němu vedl dokonce až k označení "božská proporce".

podrobnosti o knize

autor