Perlička: Obálkový paradox
Člověk |
Na stole leží dvě obálky, z nichž jedna obsahuje dvakrát více peněz než druhá. Vybereme náhodně jednu z obálek a otevřeme ji. Teď dostáváme možnost si buď vzít danou částku, nebo ji vyměnit za obsah ve druhé obálce. Co je výhodnější?
Sdílet
***pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku
Zhruba před rokem vzbudil na Science Worldu velký zájem tzv. písemkový paradox (zde). Pojďme se podívat na další z řady logických hříček v podání Raymonda Smullyana.
Obálkový paradox je zadán zhruba následujícím způsobem:
Na stole leží dvě obálky, z nichž jedna obsahuje dvakrát více peněz než druhá. Vybereme náhodně jednu z obálek a otevřeme ji. Teď dostáváme možnost si buď vzít danou částku, nebo ji vyměnit za obsah ve druhé obálce. Co je výhodnější?
Představte si, že v otevřené obálce je částka x. Ve druhé obálce bude s pravděpodobností 0,5 částka 2x, s pravděpodobností 0,5 zde bude částka x/2. S pravděpodobností 0,5 tedy ztratíme částku x/2, se stejnou pravděpodobností však získáme částku x. Podle všeho je tedy výhodnější zkusit druhou obálku.
Teď malá odbočka oproti Smullyanovu výkladu. Podobné paradoxy jsou často zkonstruovány nikoliv „matematicky“, ale na základě psychologie nebo ekonomických úvah. Pokud byste třeba mohli získat miliardu Kč či s poloviční pravděpodobností nedostat buď nic, nebo bilion Kč, pak by se většina z nás rozhodla pro první možnost. Bereme to prostě tak, že od určité (mezní) hodnoty už výše částky nehraje roli, ale klíčové je dostat alespoň něco.
Obálkový paradox ale nespadá do této kategorie úloh. Pokud bychom se pohybovali v takto řádově vysokých částkách, pak by nám asi bylo jedno už i to, zda dostaneme polovinu nebo dvojnásobek a celý paradox ztrácí smysl. Naopak u částek pro nás ještě zajímavých pohyb 50 % sem či tam roli hraje. Řekněme, že se pohybujeme právě v této oblasti, problém je tedy nikoliv psychologicko-ekonomický, ale čistě logický/matematický.
Pojďme teď dále. Stojí za to si uvědomit, že ať už v první obálce najdeme jakoukoliv částku, VŽDY bude výhodné ji vyměnit. Tedy obálku ani nemusíme otevírat. Jenže – první obálku tedy neotevřeme, přesuneme se ke druhé obálce – a tam zjistíme, že je opět výhodné po jejím otevření bez ohledu na výši částky skočit k obálce první. A nebo druhou obálku ani neotevírat, ale zkusit první obálku, a tu ale klidně neotvírat a skočit zase ke druhé… Atd.
Jak z celého paradoxu ven?
Zdá se, že problém nemá řešení, Smullyan ho však namísto vysvětlení ještě dále vyostřuje. Ukázali jsme si, že při výměně obálek můžeme získat buď částku x, nebo ztratit částku x/2. Protože pravděpodobnost obou jevů je 0,5, dokázali jsme si výhodnost výměny obálek. Teď ale označme jako D rozdíl mezi vyšší a nižší částkou (totožný s nižší částkou), a to bez ohledu na to, v které obálce je jaká částka. Pokud při výměně obálek budeme mít štěstí, získáme částku D. Pokud budeme mít smůlu, ztratíme částku D. Náhle se zdá, že výměna obálek je tedy hrou „nula od nuly pojde“. Vyšel nám úplný opak předešlých předpokladů. Jak je to možné, obě úvahy přece nemohou platit současně…
Zdroj:
Raymond Smullyan: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy, Portál, Praha, 2004
Komentáře
28.07.2014, 00:48
.... tnx for info!...
14.11.2011, 10:53 hhhhh
mám jiné řešení
čistě matematické v paradoxu se předpokládá že x v případě že změnou tratím je stejné i v případě že změnou získám což není pravda v případě že změnou tratím x/2 je x 2krát větší než v případě že změnou získám x z čehož plyne že pravděpodobný zisk i ztráta jsou v obou případech stejné žádný paradox chyba byla pouze v převedení slovního zadání do matematické podoby
29.10.2011, 20:29 rjk
Rád bych víc, ale stačí mi půl
Psychologie? Hra s pravděpodobnosti? Nic takového, jen "slovní pábení", ani ne chytré. Výchozí informace: Dvě obálky: v jedné je dvojnásobek, než v druhé, anebo polovina. Žádná další informaci není k mání! Pak není o čem uvažovat, co "počítat"! Ať otevřu kteroukoli obálku, získám peníze! Z hlediska psychologie, se následně mohu radovat, anebo užírat - že kdyby, že by .... Z hlediska pravděpodobnosti jsem nezpochybnitelně uspěl: získal jsem ukázáním na jednu z obálek peníze. Budu se radovat, i když se později dovím, že v druhé obálce bylo víc! Lepší vrabec v hrsti, než ... (Kožený na Bahamách, Gross na Floridě), než ...
21.10.2011, 11:06 karel-i
Smullyan problém "nevyostřuje",
ale naopak staví na nohy. První, "multiplikativní" prezentace je falešná ("platí" náhodně pouze pro případ obálek lišících se dvojnásobkem), kdežto druhá, "aditivní" prezentace problému je obecná pro libovolné hodnoty v obálkách. Tedy "nula od nuly pojde". Ale bylo by hezké vydělávat pouhou výměnou obálek (a někteří to již dokázali - ale to se jednalo o trochu jinou výměnu obálek - mezi žádajícím a schvalujícím :-)) Poučení: Pozor na podsouvanou interpretaci problému (nejen v matematice, ale i v ekonomice a politice)! Smullyan je lišák hrající si s takovými "paradoxy". Napadá mi k tomu výrok sv. Augustina: " Dobrý křesťan se má stříci matematiků a všech těch, kteří dělávají prázdné předpovědi, zvláště však tehdy, když se tyto předpovědi splní. Je totiž nebezpečí, že matematici ve spolku s ďáblem matou rozum a zaplétají lidstvo do spárů pekelných." V dnešní době bych však přesunul důraz z matematiků na politiky - jejich předpovědi se mi zdají mnohem prázdnější.
21.10.2011, 10:52 hlto
re: anonym
nemusí. Pokud bude horní hranice třeba 1000,- a Vy najdete v první obálce 5,- tak může být v druhé obálce jak 2.5, tak i 10. Navíc pokud se začne pracovat s tím, že obálku ani neotevřete, tak ani ta horní hranice nemá smysl.
21.10.2011, 10:22 anonym
řešení
Úvaha, že s pravděpodobností 0.5 je v obálce dvojnásobná částka (resp. poloviční), vychází z předpokladu, že výskyt všech možných částek je stejně pravděpodobný. Jinými slovy stejně pravděpodobné jsou všechny velikosti částek, kterých je nekonečně mnoho (všechna přirozená čísla). Je to klasický paradox, kde se pracuje s nekonečnem jako běžným číslem. V okamžiku, kdy nekonečno vyloučíme (např. podmínka částka je menší než 1000000Kč), paradox přestane fungovat.
Napsat vlastní komentář
Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.