Perlička: Obálkový paradox

Na stole leží dvě obálky, z nichž jedna obsahuje dvakrát více peněz než druhá. Vybereme náhodně jednu z obálek a otevřeme ji. Teď dostáváme možnost si buď vzít danou částku, nebo ji vyměnit za obsah ve druhé obálce. Co je výhodnější?

Sdílet

***pravidelné páteční "přetištění" staršího článku

Zhruba před rokem vzbudil na Science Worldu velký zájem tzv. písemkový paradox (zde). Pojďme se podívat na další z řady logických hříček v podání Raymonda Smullyana.

Obálkový paradox je zadán zhruba následujícím způsobem:
Na stole leží dvě obálky, z nichž jedna obsahuje dvakrát více peněz než druhá. Vybereme náhodně jednu z obálek a otevřeme ji. Teď dostáváme možnost si buď vzít danou částku, nebo ji vyměnit za obsah ve druhé obálce. Co je výhodnější?
Představte si, že v otevřené obálce je částka x. Ve druhé obálce bude s pravděpodobností 0,5 částka 2x, s pravděpodobností 0,5 zde bude částka x/2. S pravděpodobností 0,5 tedy ztratíme částku x/2, se stejnou pravděpodobností však získáme částku x. Podle všeho je tedy výhodnější zkusit druhou obálku.

Teď malá odbočka oproti Smullyanovu výkladu. Podobné paradoxy jsou často zkonstruovány nikoliv "matematicky", ale na základě psychologie nebo ekonomických úvah. Pokud byste třeba mohli získat miliardu Kč či s poloviční pravděpodobností nedostat buď nic, nebo bilion Kč, pak by se většina z nás rozhodla pro první možnost. Bereme to prostě tak, že od určité (mezní) hodnoty už výše částky nehraje roli, ale klíčové je dostat alespoň něco.
Obálkový paradox ale nespadá do této kategorie úloh. Pokud bychom se pohybovali v takto řádově vysokých částkách, pak by nám asi bylo jedno už i to, zda dostaneme polovinu nebo dvojnásobek a celý paradox ztrácí smysl. Naopak u částek pro nás ještě zajímavých pohyb 50 % sem či tam roli hraje. Řekněme, že se pohybujeme právě v této oblasti, problém je tedy nikoliv psychologicko-ekonomický, ale čistě logický/matematický.

Pojďme teď dále. Stojí za to si uvědomit, že ať už v první obálce najdeme jakoukoliv částku, VŽDY bude výhodné ji vyměnit. Tedy obálku ani nemusíme otevírat. Jenže - první obálku tedy neotevřeme, přesuneme se ke druhé obálce - a tam zjistíme, že je opět výhodné po jejím otevření bez ohledu na výši částky skočit k obálce první. A nebo druhou obálku ani neotevírat, ale zkusit první obálku, a tu ale klidně neotvírat a skočit zase ke druhé... Atd.
Jak z celého paradoxu ven?

Zdá se, že problém nemá řešení, Smullyan ho však namísto vysvětlení ještě dále vyostřuje. Ukázali jsme si, že při výměně obálek můžeme získat buď částku x, nebo ztratit částku x/2. Protože pravděpodobnost obou jevů je 0,5, dokázali jsme si výhodnost výměny obálek. Teď ale označme jako D rozdíl mezi vyšší a nižší částkou (totožný s nižší částkou), a to bez ohledu na to, v které obálce je jaká částka. Pokud při výměně obálek budeme mít štěstí, získáme částku D. Pokud budeme mít smůlu, ztratíme částku D. Náhle se zdá, že výměna obálek je tedy hrou "nula od nuly pojde". Vyšel nám úplný opak předešlých předpokladů. Jak je to možné, obě úvahy přece nemohou platit současně...

Zdroj:
Raymond Smullyan: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy, Portál, Praha, 2004

autor Pavel Houser

Další články z rubriky

Související články

Tagy

paradoxy · logika

pridat Linkuj | Jagg | Delicious | Facebook | vybrali.sme.sk

Komentáře

14.11.11, 10:53 hhhhh

mám jiné řešení

čistě matematické v paradoxu se předpokládá že x v případě že změnou tratím je stejné i v případě že změnou získám což není pravda v případě že změnou tratím x/2 je x 2krát větší než v případě že změnou získám x z čehož plyne že pravděpodobný zisk i ztráta jsou v obou případech stejné žádný paradox chyba byla pouze v převedení slovního zadání do matematické podoby

01.11.11, 02:15 pavelhouser

kapitulace

po precteni posledniho prispevku "rad bych vic" mi, obavam se, nezbyva, nez zcela na tento problem rezignovat :-). (tedy nakonec existuje postup, jak sve sance zvysit...)

30.10.11, 11:35 lmecir

Rád bych víc

Podíval jsem se do literatury (abych se nechlubil cizím peřím), a zjistil, že "Rád bych víc" lze ve skutečnosti splnit, pokud se můžu do obálky podívat, a podle toho se rozhodnout, jestli obálky vyměním. Toto řešení platí pro libovolnou situaci, kdy jsou na stole dvě obálky, ve kterých jsou různé částky.

Postup:

- náhodně vyberu jednu z obálek (hodím si korunou)
- do obálky se podívám, a najdu v ní částku x
- náhodně vygeneruji částku z z exponenciálního rozdělení
- je-li částka z nižší, než částka x, obálku si ponechám
- je-li částka z vyšší, než částka x, obálky vyměním

Proč mohu získám víc:

- jestliže částka z neleží mezi částkami z obálek, pak v průměru "víc" nezískám, protože ani podržení si původní obálky ani výměna mi víc nezaručí
- současně ale, jestliže částka z neleží mezi částkami z obálek, pak také na tomto postupu neztratím, protože v průměru získám stejně, jako bych tento postup nepoužil
- pokud částka z leží mezi částkami z obálek, pak při použití tohoto postupu získám větší z obou částek, čili skutečně budu mít víc
- pravděpodobnost, že částka z leží mezi menší a větší z částek z obálek je větší než 0 (tuto vlastnost mají i jiná rozdělení, exponenciální rozdělení tudíž není jediné, které lze použít), čili pravděpodobnost, že získám víc, je větší než nula

29.10.11, 20:29 rjk

Rád bych víc, ale stačí mi půl

Psychologie? Hra s pravděpodobnosti? Nic takového, jen "slovní pábení", ani ne chytré. Výchozí informace: Dvě obálky: v jedné je dvojnásobek, než v druhé, anebo polovina. Žádná další informaci není k mání! Pak není o čem uvažovat, co "počítat"! Ať otevřu kteroukoli obálku, získám peníze! Z hlediska psychologie, se následně mohu radovat, anebo užírat - že kdyby, že by .... Z hlediska pravděpodobnosti jsem nezpochybnitelně uspěl: získal jsem ukázáním na jednu z obálek peníze. Budu se radovat, i když se později dovím, že v druhé obálce bylo víc! Lepší vrabec v hrsti, než ... (Kožený na Bahamách, Gross na Floridě), než ...

29.10.11, 12:46 Wrunx

Jak píše

Imecir, je podstata stále stejná, náš náhled a takzvaný "paradox" spočívá jen ve způsobu jak nakládáme se vstupními podmínkami a získanými daty.

25.10.11, 09:54 lmecir

Psychologie?

Po vysvětlení, proč je problém obtížný, (protože tři naprosto odlišné úvahy popisují tři velmi podobné varianty téže hry) jsem přesvědčen, že tento problém do psychologie vlastně vůbec nepatří.

25.10.11, 09:39 lmecir

Konkrétní příklad

Abych osvětlil případ, kdy je zmíněná úvaha správně, představme si zase hru, kde hraje n hráčů s tím, že v obálce, kterou hráč dostane, bude vždy 1000 Kč (což hráči nevědí), a částka ve druhé obálce se určí hodem korunou tak, aby byla buď 500 Kč nebo 2000 Kč. Pak je (podle úvahy v článku) opravdu výhodné obálky vyměnit.

Naopak, představme si hru, kdy hraje n hráčů, s tím, že ve druhé obálce je 1000 Kč, zatímco v obálce podané hráči je (podle hodu korunou) buď 500 Kč, nebo 2000 Kč. Pak je naopak výhodnější si obálku ponechat.

Simulovat si tyto případy je snadné, stačí k tomu korunová mince, a po pár pokusech bude výsledek jasný.

25.10.11, 09:04 lmecir

Paradoxy

V připadě rulety se skutečně jedná o jisté psychické zvýhodnění toho, kdo užívá "schéma zdvojnásobení" - takový člověk má výhodu, že vlastně "vyhrává často", což je psychologickou výhodou tohoto schématu.

V případě "paradoxu obálek" zase "vyčerpávající analýza" vysvětluje, proč je tak obtížné najít v úvaze chybu. Je to proto, že ta úvaha je vlastně správně, platí pro jen mírně upravenou verzi hry.

25.10.11, 06:32 pavelhouser

dekuji

dekuji, "jak z paradoxu II" a "vycerpavajici analyza" jsou myslim velmi dobre vyklady/objasneni.
ad ta ruleta, neslo mi o analogii matematickou, ale spise psychologickou (ono kdyby se obalkovy paradox nejak rozsiril na vice nez 2 obalky, tak se ale paralela mozna zvyrazni...?)

obecne, cim jsou podle vas tyto paradoxy dany? (treba podobne jako opticke triky, proste zamerne zkonstruovane tak, aby se srazily s nejakych defaultnim nastavenim - oka, mozku...? nebo se zpusobem, jak nas uci resit podobne problemy ve skole...?)

25.10.11, 02:33 lmecir

Zdvojnásobení sázky v ruletě

V tomto případě se jedná o úplně jiný princip i důvod, proč se to provádí. Důvodem je, že tímto způsobem můžu pravděpodobnost prohry výrazně zmenšit. (Za prohru se považuje pouze případ, kdy jsem prohrál několik sázek za sebou, a už nejsem schopen, buď kvůli pravidlům - limit sázek - , nebo kvůli nedostatku peněz - nemám dost na to, abych pokračoval v sázení - ve zdvojnásobování pokračovat).

24.10.11, 17:24 pavelhouser

ruleta

vite, co me k tomu jeste napadlo? "zdvojnasobeni" castky vzdy po prohre jako jedna z metod, jak hrat ruletu. je zde nejaka podobnost/souvislost? (u te rulety to bezpochyby stoji na paradoxu nekonecna, tj. na tom, ze nemame nekonecne velkou vstupni castku; tam uz to, ze to nefunguje, jako nic paradoxniho/divneho ani nevnimame)

24.10.11, 16:23 lmecir

"Vyčerpávající analýza" úlohy

Předpokládejme, že soutěžící dostane informaci o dvou obálkách, které jsou na stole, s tím, že ale nemá možnost si obálku vybrat, nýbrž je mu obálka podána konferenciérem. Soutěžící má možnost se do obálky podívat, a má čtyři poradce.

První poradce:

s pravděpodobností rovnou 0.5 je ve tvé obálce nižší z obou částek označme ji y, a při výměně obálek vyděláš částku y. Pokud je v obálce částka 2y (s pravěpodobností 0.5), při výměně obálek proděláš částku y. Suma sumárum, je jedno, jestli obálky vyměníš, nebo ne.

Druhý poradce:

Označme částku ve tvé obálce x. S pravděpodobností 0.5 je ve druhé obálce částka x/2, a výměnou obálek proděláš x/2. S pravděpodobností 0.5 je ve druhé obálce částka 2x, a výměnou obálek vyděláš částku x. Suma sumárum, rozhodně obálky vyměň, protože na tom vyděláš.

Třetí poradce:

Označme částku ve druhé obálce z. S pravděpodobností 0.5 je ve tvé obálce částka z/2, čili tím, že si obálku ponecháš, proděláš z/2. S pravděpodobností 0.5 je ve tvé obálce částka 2z, čili tím, že si obálku ponecháš, vyděláš částku z. Suma sumárum, obálky rozhodně neměň, protože na tom vyděláš.

Čtvrtý poradce:

První poradce popisuje situaci, kdy dramaturg soutěže nejdříve určil menší z obou částek y, s tím, že větší částka bude 2y. Obálku, kterou ti konferenciér podá pak zvolili losem. Jeho rada je v takovém případě správná, a je jedno, jestli obálky vyměníš.

Druhý poradce popisuje situaci, kdy dramaturg soutěže nejdříve určil částku, která bude ve tvé obálce, a částku ve druhé z obálek pak určili losem jako buď polovinu, nebo dvojnásobek částky ve tvé obálce. Jeho rada je v takovém případě správná, a je výhodnější obálky vyměnit.

Třetí poradce popisuje situaci, kdy dramaturg soutěže nejdříve určil částku v obálce, kterou jsi nedostal, zatímco částka v obálce, kterou jsi dostal, byla určena losem, jakožto polovina částky ve druhé obálce, či jakožto dvojnásobek částky ve druhé obálce. Třetí poradce má pravdu, že v takovém případě je lepší si ponechat obálku, kterou máš.

...

24.10.11, 10:46 lmecir

Jak z paradoxu II

Asi nejjednodušší je použít frekventistickou definici pravděpodobnosti. Pak je okamžitě zřejmé, kde je v úvaze chyba. Pro použití této definice je nutné zajistit opakovatelnost. Předpokládejme tedy, že byla vybrána skupina n hráčů (n hodně velké), kterým byla sdělena pravidla a kteří budou postupně zváni, aby se hry zúčastnili. Do obálek dáme částky 2000 Kč a 1000 Kč, což hráči nebudou vědět.

Pokud se dostaví hráč a vidí částku 2000 Kč, pak jeho úvaha, že pravděpodobnost, že vyhraje částku 2000 Kč je 0,5 je špatně, protože to se žádnému takovému hráči stát nemůže. Stejně tak je špatně úvaha, že pravděpodobnost, že prohraje částku 1000 Kč je 0,5 je samozřejmě také špatně.

Obdobně, pokud se dostaví hráč a vidí částku 1000 Kč, jeho úvaha, že pravděpodobnost, že vyhraje částku 1000 Kč je 0,5 je samozřejmě také špatně, jakož i úvaha, že pravděpodobnost, že prohraje částku 500 Kč je 0,5.

22.10.11, 10:27 lmecir

Jak z paradoxu?

Větu "jedna z obálek obsahuje dvakrát více peněz než druhá" lze matematicky přeložit tak, že ta "jedna z obálek" obsahuje částku o velikosti y. Druhá obálka pak obsahuje částku y/2. Pokud jsem si já otevřel obálku a vidím částku x, vím, že s pravděpodobností 0.5 platí, že x = y a s pravděpodobností 0.5 platí, že x = y/2. Pokud x = y, při výměně obálky prodělám částku y/2 (=x/2). Pokud x=y/2, při výměně obálky vydělám částku y/2 (=x). Vidím ale, že ať obálky vyměním, nebo ne, částka, kterou vydělám či prodělám je vždy stejně veliká, její velikost se rovná y/2. To, že v prvním případě se vydělaná částka rovná x, zatímco ve druhém případě se prodělaná částka rovná x/2 není vůbec zajímavé, protože x a x/2 jsou v obou případech stejná čísla.

21.10.11, 22:50 pavelhouser

jasne...

jasne, ze oboje "musi byt" stejne vyhodne, o to se nepru. jde jen o to, ze v te puvodni argumentaci (ba ani v tom "5 uz mam jistych") neni chyba nejak videt - jisteze, jinak by to nebyl paradox.
(btw, neni na tuhle hru nekde nejaky simulator?)

k te horni hranici: to by to snad resilo, kdyz znate horni hranici 1000, jasne, ze u 5 vezmete druhou obalku, u 600 si nechate tu prvni (600). zde vam dodatecna informace dava navod, kdy je vyhodne pokracovat (do 500) a kdy skoncit (nad 500). Cili zde opravdu v 1/2 pripadu je vyhodne pokracovat a v 1/2 si vzit prvni castku. Cili i kdyz nevite, kolik v 1. obalce je, je stejne tak vyhodna tato jako ta 2. skvele, reklo by se.

jenze i tady se to da zamotat, obavam se. kdyz je v 1. obalce 250, pokracovanim vydelate v prumeru (250*2 + 250/2)/2 = 312,5. "Zrcadlove" u 750 pokracovanim vydelate 375. 1. verze pokracovanim trochu vydelate (312,5-250), druha hodne prodelate (750-375). no a protoze v 1. obalce, aniz ji otevrete, muze byt stejne dobre pod 500 jako nad 500, tady vychazi, ze je rozhodne naopak treba otevrit tu prvni. :-))

pardon, necham toho, by me neranila mozkova mrtvice. (zduraznuji, ze jsem strizlivy :-))

21.10.11, 19:42 Jose

to PavelHOuser

zkusím z druhé strany :
Pokud se rozhodnu že si vezmu hned první je pravděpodobnost 50 proc. na zisk 10 a 50 proc. na zisk 20, takže průměrně mi to hodí 15, pokud budu brát druhou je pravděpodobnost že mi druhé braní dá 10 nebo 20 také padesát na padesát, takže zase 15, je úplně jedno jestli vezmu první nebo druhou.
Autor žongluje s čísly šikovně, ale uvědom si že 2X z deseti je 20 a 1/2 X z dvaceti je zpátky 10.

21.10.11, 18:18 Jupin

rozdilne uvahy

V druhe uvaze mame vice informaci D = 2x - x = x
v prvni ale nevime jestli je D = x nebo D = x -0.5x = 0.5x

nelze je proto srovnavat

21.10.11, 16:29 pavelhouser

to jose

to se mi nezda. otevru - 10. OK, uz mam jistych 5, dobre. Necham si 10, ziskam 5. Otevru druhou: bud tam muze byt 20 - zisk oproti tomu, co mam jiste, je 15. Nebo 5, zisk 0. (15+0)/2 se ale stale nerovna 5, porad mi vychazi vyhodnejsi "hrat dal".

21.10.11, 16:19 pavelhouser

augustin

btw, to augustin opravdu napsal, nebo se mu to jen pripisuje (podobne jako to, ze buh pred stvorenim sveta vytvarel pekelne propasti pro ty, kdo kladou podobne otazky)? jinak by me od A. neprekvapilo nic, krajne odpuzujici postava :-)

21.10.11, 15:28 Jose

špatně postavené předpoklady

Paradox vzniká protože máte špatně postavené základní předpoklady. Ve skutečnosti otevřením druhé obálky získáte také jen X/2, tedy tolik kolik také můžete ztratit. Je to z toho důvodu že v době kdy se rozhodujete zda otevřít druhou obálku již X/2 z první reálně máte.

21.10.11, 11:06 Karel-I.

Smullyan problém "nevyostřuje",

ale naopak staví na nohy. První, "multiplikativní" prezentace je falešná ("platí" náhodně pouze pro případ obálek lišících se dvojnásobkem), kdežto druhá, "aditivní" prezentace problému je obecná pro libovolné hodnoty v obálkách. Tedy "nula od nuly pojde". Ale bylo by hezké vydělávat pouhou výměnou obálek (a někteří to již dokázali - ale to se jednalo o trochu jinou výměnu obálek - mezi žádajícím a schvalujícím :-)) Poučení: Pozor na podsouvanou interpretaci problému (nejen v matematice, ale i v ekonomice a politice)!
Smullyan je lišák hrající si s takovými "paradoxy". Napadá mi k tomu výrok sv. Augustina: " Dobrý křesťan se má stříci matematiků a všech těch, kteří dělávají prázdné předpovědi, zvláště však tehdy, když se tyto předpovědi splní. Je totiž nebezpečí, že matematici ve spolku s ďáblem matou rozum a zaplétají lidstvo do spárů pekelných." V dnešní době bych však přesunul důraz z matematiků na politiky - jejich předpovědi se mi zdají mnohem prázdnější.

21.10.11, 10:52 HlTo

re: anonym

nemusí. Pokud bude horní hranice třeba 1000,- a Vy najdete v první obálce 5,- tak může být v druhé obálce jak 2.5, tak i 10.
Navíc pokud se začne pracovat s tím, že obálku ani neotevřete, tak ani ta horní hranice nemá smysl.

21.10.11, 10:22 anonym

řešení

Úvaha, že s pravděpodobností 0.5 je v obálce dvojnásobná částka (resp. poloviční), vychází z předpokladu, že výskyt všech možných částek je stejně pravděpodobný. Jinými slovy stejně pravděpodobné jsou všechny velikosti částek, kterých je nekonečně mnoho (všechna přirozená čísla). Je to klasický paradox, kde se pracuje s nekonečnem jako běžným číslem. V okamžiku, kdy nekonečno vyloučíme (např. podmínka částka je menší než 1000000Kč), paradox přestane fungovat.

Napsat vlastní komentář

Pro přidání příspěvku do diskuze se prosím přihlašte v pravém horním rohu, nebo se prosím nejprve registrujte.

Science World